Grenzwerte
Inhaltsverzeichnis
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Erläuterung des Grenzwertes
Um sich den Begriff des Grenzwertes zu erschließen, betrachten wir die Funktion \(f\) mit
\(\quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & \frac{1}{x} \\ \end{array} \)
für alle \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x>0\).
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Es ist zu erkennen, dass für größer werdende \(x\)-Werte der \(y\)-Wert immer kleiner wird. Strebt \(x\) gegen \(\infty\), so strebt \(f(x)\) gegen \(0\). Dieser Wert wird als der Grenzwert von \(f(x)\) genannt. Wir schreiben dies als
\(\quad \lim \limits_{x \to \infty} f(x) \; = \; 0 \)
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Beachte, das der Grenzwert kein Wert der Funktion sein muss. Denn \(f(x)\) erreicht ja nie die \(0\).
\(\\[1em]\)
Grenzwert bei Definitionslücken
Verschieben wir nun die Funktion \(f\) nach rechts und betrachten sie über den ganzen Bereich der reellen Zahlen.
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Diese neue Funktion sei \(g\) mit
\(\quad g(x) \; = \; \frac{1}{x-1} \)
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Es ist leicht zu erkennen, dass \(g\) an der Stelle \(x=1\) nicht definiert ist. Denn es gilt
\(\quad g(1) \; = \; \frac{1}{1-1} \; = \; \frac{1}{0} \)
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Das ist nicht definiert, da wir ja durch \(0\) nicht teilen können. Entsprechend haben wir in der Abbildung eine Definitionslücke bei \(x=1\). Es gilt für \(g\) der Definitionsbereich \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
\(\\[1em]\)
Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert
Der Wert von \(g(1)\) kann nicht berechnet werden. Der Grenzwert für \(\lim \limits_{x \to 1}\) jedoch schon. Dabei betrachtet man den Grenzwert dafür, dass man von links gegen \(1\) geht und den Grenzwert dafür, dass man von rechts gegen \(1\) geht.
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Nähern wir uns der \(1\) von links, also mit \(x\)-Werten kleiner als \(1\), so schreiben wir \(\lim \limits_{x \uparrow 1}\) und bekommen
\(\quad \lim \limits_{x \uparrow 1} f(x) \; = \; -\infty \)
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Nähern wir uns der \(1\) dagegen von rechts, also mit \(x\)-Werten größer als \(1\), so schreiben wir \(\lim \limits_{x \downarrow 1}\) und bekommen
\(\quad \lim \limits_{x \downarrow 1} f(x) \; = \; \infty \)
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In der Literatur sind dafür auch andere Schreibweisen zu lesen, wobei ich diese gängige Schreibweise im Folgenden weiter verwenden werde.
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Ist
\(\quad \lim \limits_{x \uparrow x_0} f(x) \; = \; \lim \limits_{x \downarrow x_0} f(x)\, {,} \)
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so gilt
\(\quad \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \)
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In diesem Fall trifft das für \(x_0=1\) nicht zu.
\(\\[1em]\)
Grenzwert für × strebt gegen Unendlich
Betrachten wir noch einmal, wie schon zu Beginn, \(\lim \limits_{x \to \infty}\). Im Bereich der reellen Zahlen sind \(-\infty\) und \(\infty\) ausgeschlossen. Denn nach der Definition vom Zahlenbereich \(\mathbb{R}\) gelten nur alle Zahlen zwischen \(-\infty\) und \(\infty\). Das heißt, dass wir für \(\pm \infty\) nur den Grenzwert bestimmen können.
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Da wir uns \(\infty\) nur von links und \(-\infty\) nur von rechts nähern können, schreiben wir vereinfacht, hier zum Beispiel bei der Funktion \(g\),
\(\quad \lim \limits_{x \to \infty} g(x) \; = \; 0 \)
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und
\(\quad \lim \limits_{x \to -\infty} g(x) \; = \; 0 \)
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Die Untersuchung der Grenzwerte \(\lim \limits_{x \to \pm \infty}\) nennt man auch die Randuntersuchung oder das Randverhalten einer Funktion.
\(\\[1em]\)